La somme des \( n \) premiers termes d'une suite arithmétique est donnée par \( S_n = rac{n}{2}(2a + (n-1)d) \). Si le premier terme \( a = 3 \) et la raison \( d = 2 \), trouvez \( n \) tel que \( S_n = 210 \).

["Titre : Calcul de ( n ) pour une suite arithmétique donnée selon la somme ( S_n = 210 )", "---", "Introduction", "En mathématiques, la somme des ( n ) premiers termes d’une suite arithmétique est une formule fondamentale. Elle permet de calculer rapidement la somme sans additionner chaque terme séparément. La formule à retenir est :", "[\nS_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n - 1)d \right)\n]", "où ( a ) est le premier terme, ( d ) la raison, et ( S_n ) la somme des ( n ) premiers termes.", "Dans cet article, nous étudions un cas spécifique : unsuite arithmétique où ( a = 3 ) et ( d = 2 ), et nous déterminons la valeur de ( n ) pour laquelle la somme ( S_n = 210 ).", "---", "Étape 1 : appliquer la formule avec les valeurs données", "Nous remplaçons ( a = 3 ), ( d = 2 ), et ( S_n = 210 ) dans la formule :", "[\n210 = \frac{n}{2} \left( 2 \ imes 3 + (n - 1) \ imes 2 \right)\n]", "Simplifions l’expression entre parenthèses :", "[\n2 \ imes 3 = 6\n]\n[\n(n - 1) \ imes 2 = 2n - 2\n]\n[\n6 + 2n - 2 = 2n + 4\n]", "Ainsi, l’équation devient :", "[\n210 = \frac{n}{2} (2n + 4)\n]", "---", "Étape 2 : simplifier l’équation", "Multiplions les deux côtés par 2 pour éliminer le dénominateur :", "[\n420 = n (2n + 4)\n]", "Développons le membre de droite :", "[\n420 = 2n^2 + 4n\n]", "Réorganisons sous forme d’équation quadratique standard :", "[\n2n^2 + 4n - 420 = 0\n]", "Divisons tous les termes par 2 pour simplifier :", "[\nn^2 + 2n - 210 = 0\n]", "---", "Étape 3 : résoudre l’équation quadratique", "Nous résolvons l’équation ( n^2 + 2n - 210 = 0 ) par factorisation ou en utilisant la formule quadratique.", "Essayons la factorisation. Nous cherchons deux nombres dont le produit est ( -210 ) et la somme ( +2 ).\nLes nombres ( 15 ) et ( -14 ) conviennent, car :", "[\n15 \ imes (-14) = -210, \quad 15 + (-14) = 1 \quad (\ ext{pas correct})\n]", "Testons ( 15 ) et ( -14 ) mal society : en réalité, ( (n + 15)(n - 14) = n^2 + n - 210 ) → trop grand.", "Affinez avec des nombres proches :\n( 15 \ imes (-14) = -210 ), mais somme ( 1 ). On veut somme ( 2 ), donc essayons :\n( 14 \ imes (-15) = -210 ), somme ( -1 ) → non.", "Essayons plutôt ( (n + 15)(n - 14) ) → faux.", "Essayons la formule quadratique :", "[\nn = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\n]", "Pour ( n^2 + 2n - 210 = 0 ), on a ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = -210 ).", "Calcul discriminant :", "[\n\Delta = 2^2 - 4(1)(-210) = 4 + 840 = 844\n]", "[\n\sqrt{844} \approx 29.05 \quad (\ ext{non entier})\n]", "Pas idéal. Revenons à l’équation simplifiée :", "[\nn^2 + 2n - 210 = 0\n]", "Utilisons la formule quadratique :", "[\nn = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 840}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{844}}{2}\n]", "[\n\sqrt{844} = \sqrt{4 \ imes 211} = 2\sqrt{211}\n]", "Cette racine n’est pas entière, ce qui soulève une question : ( n ) doit être un entier, car il représente le nombre de termes. Il convient donc de contrôler nos calculs.", "---", "Re-vérifions l’équation intermédiaire", "Nous avions :", "[\n210 = \frac{n}{2} (2n + 4)\n]", "Multiplions par 2 :\n[\n420 = n(2n + 4) = 2n^2 + 4n\n]", "Puis :", "[\n2n^2 + 4n - 420 = 0 \Rightarrow n^2 + 2n - 210 = 0\n]", "Vérifions si ( n ) est entier en test de valeur.", "Essayons ( n = 14 ) :\n[\n14^2 + 2 \ imes 14 = 196 + 28 = 224 <br/>\ne 210\n]", "Essayons ( n = 13 ) :\n[\n13^2 + 2 \ imes 13 = 169 + 26 = 195 < 210\n]", "Essayons ( n = 14 ) → 224, trop grand.\nMais 210 est entre 195 et 224. Pas de solution entière ?", "Vérifions notre calcul initial.", "Rappel :\n[\nS_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(6 + (n-1) \cdot 2) = \frac{n}{2}(6 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n + 4) = n(n + 2)\n]", "Ah ! Une simplification élégante :", "[\nS_n = n(n + 2)\n]", "Donc, pour ( S_n = 210 ) :", "[\nn(n + 2) = 210\n]", "Essayons des valeurs entières :", "- ( n = 14 ) : ( 14 \ imes 16 = 224 )\n- ( n = 13 ) : ( 13 \ imes 15 = 195 )\n- ( n = 14 ) trop, ( n = 13 ) trop en dessous.", "Mais 210 n’est pas un produit de deux entiers consécutifs ou proches.\nCependant, ( 14 \ imes 15 = 210 ), et ( n + 2 = 15 \Rightarrow n = 13 ), mais ( n(n+2) = 13 \ imes 15 = 195 ) — pas 210.", "Erreur dans la simplification ?", "Revérifions :", "[\nS_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) = \frac{n}{2}(6 + (n-1)\cdot 2) = \frac{n}{2}(6 + 2n - 2) = \frac{n}{2}(2n + 4) = n(n + 2)\n]", "C’est bien vérifié. Donc :", "[\nn(n + 2) = 210\n]", "Recherchons ( n \in \mathbb{N}^ ) :", "- ( n = 14 ) : ( 14 \ imes 16 = 224 )\n- ( n = 13 ) : ( 13 \ imes 15 = 195 )\n- ( n = 15 ) : ( 15 \ imes 17 = 255 )", "Aucun entier ( n ) ne donne 210. Contradiction ?", "Mais ( S_n = n(n + 2) ), donc pour ( n = 14 ), somme = 224 ; ( n = 13 ), somme = 195.\n210 n’est pas atteignable.", "Mais prudent : avez-vous vérifié la formule ?", "Oui, correcte. Donc, il n’existe aucune solution entière positive pour ( n(n+2)=210 ).", "---", "Conclusion : reconsidérer les données", "Attention : peut-être une erreur dans l’énoncé ou les valeurs ?\nMais la méthode est correcte.", "Cependant, si l’on suppose une erreur mineure et test ( S_n = 198 ) ou ( 195 ), tout est cohérent.", "Mais conformément à la donnée ( S_n = 210 ), ( a = 3 ), ( d = 2 ), l’équation ( S_n = n(n+2) = 210 ) n’admet aucune solution entière.", "---", "*Formule clé résumée"]